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Definition

Eine Singulärwertzerlegung (engl. Singular Value Decomposition oder kurz SVD) ist eine Faktorisierung einer (m × n)-Matrix, sodass diese als Produkt weiterer Matrizen mit speziellen Eigenschaften dargestellt werden kann.

Die Singulärwertzerlegung einer reellwertigen (m × n)-Matrix ist eine Faktorisierung der Form

Dabei ist eine orthogonale (m × m)-Matrix, eine orthogonale (n × n)-Matrix und eine (m × n)-Matrix, die nur auf der Diagonalen von Null verschiedene Einträge besitzt, die absteigend sortiert und positiv sind.

Die (positiven und sortierten) Diagonalelemente der Matrix werden auch als die Singulärwerte der Matrix bezeichnet.

Die Matrix kann als Datensatz bestehend aus m Zeilen und n Spalten angesehen werden (z.B. ein Schwarz-Weiß-Bild).

Bevor wir wiederholen, was eine orthogonale Matrix ist, veranschaulicht das folgende Beispiel die Definition. Die zugehörige Funktion der taralino-Bibliothek findest du hier:

Zur Referenz

Beispiel

Es wird die Singulärwertzerlegung eine (3 × 4)-Matrix bestimmt und ausgegeben.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

var A = [
  [1, 2, 0, 3],
  [4, 3, 2, 5],
  [2, 2, 1, 3]
];

var T = LinearAlgebra.svd(A);

Console.print(T.U);
Console.print(T.S);
Console.print(T.V);

// Probe
var P = LinearAlgebra.mult(T.U, LinearAlgebra.mult(T.S, T.V));
Console.print("Ergebnis der Probe enspricht der Matrix A:");
Console.print(P);

</script>
</body>
</html>

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Bevor wir auf Eigenschaften und Nutzen der Singulärwertzerlegung eingehen, wiederholen wir die Definition orthogonaler Matrizen:

Eine quadratische Matrix ist orthogonal, falls

gilt. Dabei ist die transponierte Matrix von und ist die Einheitsmatrix.

Orthogonale Matrizen besitzen wichtige Eigenschaften: Beispielsweise ist die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix per Definition gleich der transponierten Matrix. Zudem bilden die Zeilen und Spalten einer orthogonalen (n × n)-Matrix jeweils eine Basis des n-dimensionalen Standardvektorraums.

Beispiel

Überprüfung, ob die beiden Matrizen einer Singulärwertzerlegung orthogonal sind.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

var A = [
  [1, 2, 0, 3],
  [4, 3, 2, 5],
  [2, 2, 1, 3]
];

var T = LinearAlgebra.svd(A);

// Probe
var PU = LinearAlgebra.mult(T.U, LinearAlgebra.transpose(T.U));
Console.print(PU);

var PV = LinearAlgebra.mult(T.V, LinearAlgebra.transpose(T.V));
Console.print(PV);

</script>
</body>
</html>

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Quiz

Eine Singulärwertzerlegung einer reellwertigen (m × n)-Matrix ist...

...eine Faktorisierung bestehend aus zwei Matrizen.

...eine Faktorisierung bestehend aus drei Matrizen.

...eine andere Bezeichnung für die Eigenwertzerlegung.

...eine andere Bezeichnung für die QR-Zerlegung.