taralino

Kompressionsrate

Bei einem (unkomprimierten) Originalbild bestehend aus m x n Pixel müssen

Zahlen gespeichert werden. Aber angenommen, für einen vergleichsweise kleinen Wert von q erhalten wir eine gute Approximation des Originalbildes:

Dann müssen signifikant weniger Zahlen im Vergleich zum Originalbild gespeichert werden. Um genauer zu sein: In Abhängigkeit von q bestehen die drei Matrizen zur Approximation aus zusammen

Zahlen. Als Kompressionsrate definieren wir daher das Verhältnis aus den zu speichernden Zahlen des komprimierten Bildes im Vergleich zum Originalbild:

Bei einer Kompressionsrate kleiner als Eins benötigt das komprimierte Bild somit weniger Speicherplatz.

Es sei bemerkt, dass es viele Verfahren gibt, die zur Bildkompression weitaus besser geeignet sind. Dennoch handelt es sich um ein schönes Anwendungsbeispiel, um den Nutzen einer Singulärwertzerlegung zu veranschaulichen.

Um anhand etwas größerer Bilder Erfahrungen sammeln zu können, nutzen wir im folgenden Beispiel das SampleImages-Paket:

Zur Referenz

Beispiel

Es wird die Singulärwertzerlegung eines Schwarz-Weiß-Bildes bestimmt. Anschließend wird das Reduktionsverfahren zwecks Erprobung als Methode zur Bildkompression angewandt.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
  <script src="SampleImages.js"></script>
</head>
<body>
<script>

// Schwarz-Weiß-Bild als Datenmatrix
var A = SampleImages.get("temple");
A = Picture.monochrome(A);
Picture.draw(A);

// Parameter zur Reduktion / Kompression
var q = 32;

// Dimension der Datenmatrix
var m = A.length;
var n = A[0].length;

// Singulaerwertzerlegung bestimmen
var T = LinearAlgebra.svd(A);

// Null-Matrix mit gleicher Dimension wie A
var B = [];
for (var i = 0; i < m; i++) {
  B.push([]);
  for (var j = 0; j < n; j++) B[i].push(0);
};

// Approximation der Datenmatrix bestimmen
for (var i = 0; i < m; i++) {
  for (var j = 0; j < n; j++) {
    for (var k = 0; k < q; k++) B[i][j] += T.U[i][k] * T.S[k][k] * T.V[k][j];
  };
};

// Approximation der Datenmatrix als Schwarz-Weiß-Bild ausgeben
Picture.draw(B);

// Kompressionsrate anzeigen
var c = q*(m+n+1) / (m*n);
Canvas.init([-10,10], [-1,1], {width:256});
Canvas.text(0, 0, "Kompressionsrate: " + c.toFixed(2));

</script>
</body>
</html>

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