Um einen Einstieg in die mathematische und algorithmische Beschreibung des SIR-Modells zu finden, beginnen wir mit grundlegenden Überlegungen: Wir untersuchen eine Population bestehend aus einzelnen Individuen (beispielsweise eine Gruppe Menschen). Nun möchten wir untersuchen, wie sich die Größe der Population (also die Anzahl der Menschen) in Abhängigkeit der Zeit verändert.
Jede Simulation beginnt stets zum Startzeit und wir untersuchen (diskrete) Zeitschritte, nämlich
mit einer sogenannten Schrittweite und mit . Je nachdem, wie das Modell definiert wird, beschreibt beispielsweise einen Tag, eine Minute oder den Bruchteil einer Sekunde.
Der zeitliche Verlauf der Populationsgröße (Anzahl der Individuen) beschreiben wir anhand folgender Funktion:
Da wir uns wie zuvor beschrieben insbesondere für die Zeitschritte interessieren, schreiben wir verkürzt auch
für alle (ganzen) Zahlen . Die Idee zur Simultion ist nun folgende:
Angenommen, mit ist die Populationsgröße zum Zeitpunkt bekannt. Dann möchten wir daraus und damit die Populationsgröße zum nachfolgenden Zeitpunkt bestimmen.
Damit es mit der Zeit überhaupt zu Veränderungen kommt, führen wir folgenden Parameter ein:
| Sterberate 💀 |
Dieser Parameter ist eine Eigenschaften der Population und damit insbesondere unabhängig von der Zeit , unabhängig von der Schrittweite und unabhängig von der Populationsgröße . Der zeitliche Verlauf der Populationsgröße lässt sich nun folgendermaßen modellieren:
In Worten beschrieben bedeutet die Gleichung zuvor folgendes: Die Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt ist gleich der Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt abzüglich einem Term, der Sterbefälle beschreibt.
Wichtig dabei ist zu beachten, dass die Sterberate sowohl mit der Populationsgröße als auch mit der Schrittweite multipliziert werden muss. Dies lässt sich leicht nachvollziehen, denn es gilt:
- Je größer die Populationsgröße , desto mehr Todesfälle treten auf.
- Je größer die Schrittweite bzw. Dauer eines Simulationsschritts , desto mehr Todesfälle treten auf.
Die Anzahl der Sterbefälle ist somit proportional zur Populationsgröße und proportional zur Schrittweite .
Die Rechenvorschrift beschreibt eine iterative Vorgehensweise. Dies bedeutet, dass sich die Rechenvorgänge schrittweise wiederholen und jeweils vom Ergebnis zuvor abhängig sind. Für die nachfolgende Simulation setzt dies entsprechend auch voraus, dass die Anzahl der Individuen zum Startzeitpunkt bekannt ist.
Den nachfolgenden Quellcode musst du nicht im Detail verstehen, um die Inhalte des Kurses nachvollziehen zu können. Es reicht, wenn du in der Lage bist, die Parameter anzupassen und den Code erneut auszuführen. Zu beachten ist jedoch, dass Nachkommastellen einer Zahl durch einen Punkt (und nicht durch ein Komma) von den führenden Ziffern getrennt werden.