taralino

Differentialgleichungen

Als ergänzende Zusatzinformation möchten wir in diesem Abschnitt darauf hinweisen, dass es sich bei der Rechenvorschrift

für immer kleiner werdende Schrittweiten um (gewöhnliche) Differentialgleichungen handelt:

Mit der gleichen Herleitung wie beim einleitenden Beispiel mit der Sterberate erhalten wir folgende System:

Diese Differentialgleichungen werden als das grundlegende SIR-Modell bezeichnet.

Der folgende Code löst das SIR-Modell unter Verwendung der taralino-Bibliothek. Zur genauen Referenz sei auf

Das Ode-Paket

verwiesen.

Simulation

Zunächst werden sämtliche Parameter definiert, bevor die Differentialgleichung definiert und gelöst wird. Das Ergebnis wird entsprechend dargestellt.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

/**** Parameter ****/

// Individuen der gesamten Population
var N = 1000;

// Anteil der (anfangs) infizierten Individuen
var u = 0.01;

// Kontaktrate
var a = 0.1;

// Genesungsrate
var c = 0.04;

// Endzeitpunkt der Simulation
var T = 200.0;


/**** Differentialgleichung ****/

// Beschreibung der Differentialgleichung
function f(s, i, r) {
  var ds = -(a/N)*s*i;
  var di = (a/N)*s*i - c*i;
  var dr = c*i;
  return [ds, di, dr];
};

// Loesen der Differentialgleichung
var P = Ode.solve(f, [(1-u)*N, u*N, 0], T);


/**** Ergebnis darstellen ****/

Plot.init(640, 300, {axis:["Anzahl der Individuen", "Zeit (S = blau, I = rot, R = gruen)"], scaling:"off"});
Plot.list(P[0], {style:"line"});
Plot.list(P[1], {style:"line"});
Plot.list(P[2], {style:"line"});
Plot.draw();


</script>
</body>
</html>

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