taralino

Simulationsanalyse

Wie wir spätestens seit der Coronapandemie wissen, ist es von zentraler Bedeutung, wie viele Individuen gleichzeitig infiziert (bzw. erkrankt) sind. Denn es ist davon auszugehen, dass ein gewisser Anteil der infizierten Personen medizinisch behandelt werden muss: Ist dieser Anteil zu groß, kann die Belastungsgrenze des Gesundheitssystems durchaus schnell überschritten werden.

In diesem Abschnitt möchten wir daher eine derartige Analyse anhand des SIR-Modells durchführen. Um dies genauer zu erläutern: Unter Verwendung der Parameter

			Anzahl der Individuen der gesamten Population
			Anteil der (anfangs) infizierten Individuen
			Kontaktrate
			Genesungsrate

erhalten wir folgendes Simulationsergebnis:

Wir erkennen, dass im Maximum etwas 230 Individuen gleichzeitig erkrankt sind, was 23 Prozent der gesamten Populationsgröße entspricht. Insbesondere wollen wir in der folgenden Aufgabe untersuchen, welchen Einfluss die Kontaktrate auf das Maximum der der gleichzeitig erkrankten Individuen hat (#FlattenTheCurve).

Simulation

Es wird die gleiche Simulation des SIR-Modells wie zuvor durchgeführt. Zur besseren Analyse wird jedoch nur der zeitliche Verlauf der infizierten Individuen dargestellt.

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<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

/**** Parameter ****/

// Individuen der gesamten Population
var N = 1000;

// Anteil der (anfangs) infizierten Individuen
var u = 0.01;

// Kontaktrate
var a = 0.1;

// Genesungsrate
var c = 0.04;

// Schrittweite, positive Zahl
var h = 0.5;

// Endzeitpunkt der Simulation
var T = 400.0;


/**** Simulation ****/

// Zeitvariable
var t = 0.0;

// zeitlicher Verlauf S
var s = (1-u)*N;
var S = [[t, s]];

// zeitlicher Verlauf I
var i = u*N;
var I = [[t, i]];

// zeitlicher Verlauf R
var r = 0;
var R = [[t, r]];

// Zeitschritte berechnen
while (t < T) {
  t = t + h;
  s = s - (a/N)*s*i*h;
  i = i + (a/N)*s*i*h - c*i*h;
  r = r + c*i*h;
  S.push([t, s]);
  I.push([t, i]);
  R.push([t, r]);
};


/**** Ergebnis darstellen ****/

Plot.init(640, 300, {axis:["Anzahl infizierter Individuen", "Zeit"], scaling:"off"});
Plot.list(I, {style:"line", color:"red"});
Plot.draw();


</script>
</body>
</html>

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Aufgabe

Halte alle Parameter konstant, aber variiere die Kontaktrate zwischen und . Führe eine Simulation durch und beobachte jeweils das Maximum der gleichzeitig infizierten Individuen.

Als Ergebnis sollte eindeutlich ersichtlich werden, dass eine Reduktion der Kontaktrate entscheidend dazu beitragen kann, dass das Gesundheitssystem entlastet wird.