Die Inhalte aus dem vorherigen Abschnitt sollten eigentlich nicht so schwer gewesen sein, allerdings wurden viele neue Bezeichnungen eingeführt, sodass die Rechenvorschrift zunächst doch sehr komplex erscheinen mag. Daher wiederholen wir zunächst die wichtigsten Inhalt, bevor wir ergänzende Hinweise geben.
Als Rechenvorschrift zur Simulation der Populationsgröße einer Spezies haben wir
hergeleitet. Umformuliert ist dies identisch zu:
Wenn die Parameter und sowie die Schrittweite gewählt sind, dann kann die Populationsgröße iterativ berechnet werden, sofern mit die Populationsgröße zum Zeitpunkt bekannt ist. Dabei ist
eine verkürzte Schreibweise für die Populationsgröße zum Zeitpunkt .
Wenn du die Inhalte bis hierher verstanden hast, dann wirst du sicher auch keine Probleme mit den nachfolgenden Modellen haben.
Als kleine Ergänzung wollen wir nun erläutern, dass wir es eigentlich mit (gewöhnlichen) Differentialgleichungen zu tun haben. Lass dich nicht abschrecken, falls du die folgenden Ausführungen nicht im Detail nachvollziehen kannst, diese sind eher als optionale Zusatzinformationen zu verstehen.
Die Rechenvorschrift oben können wir umformulieren zu:
Und dies kann mit sowie mit auch geschrieben werden als
sowie dank auch als:
Die beiden Schreibweisen zuvor beinhalten aber nichts anderes als den Differenzenquotient:
Für immer kleiner werdende Schrittweiten ergibt sich der Differentialquotient, nämlich:
Dabei handelt es sich um eine sogenannte gewöhnliche Differentialgleichung.
Die zeitliche Entwicklung der Populationsgröße in Abhängigkeit der Parameter und ist also eigentlich die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Anders formuliert: Die Rechenvorschrift zur Simulation der Populationsgröße ist nichts anderes als die (numerische) Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung.