taralino

Schwertlilien

In den nun folgenden Anwendungsbeispielen kommen verallgemeinerte neuronale Netze unter Verwendung der Sigmoid-Aktivierungsfunktion zum Einsatz.

Unser erstes Beispiel besteht darin, Blumen der Gattung Schwertlilie (Iris) anhand der Größe der Blütenblätter hinsichtlich dreier Arten der Gattung zu klassifizieren:

#	Name der Art	wissenschaftlicher Name
1	Borsten-Schwertlilie	Iris setosa
2	Verschiedenfarbige Schwertlilie	Iris versicolor
3	Virginische Schwertlilie	Iris virginica

Um die Klassifikationsaufgabe zu lösen, verwenden wir ein neuronales Netz mit folgendem Aufbau:

Bei den Eingangsneuronen wurde bewusst die Einheit Dezimeter (dm) gewählt, da wir dadurch jeweils einen Zahlenwert zwischen 0 und 1 pro Eingangsneuron erhalten (größer als 1 dm = 10 cm sind die Blütenblätter in der Natur eigentlich nie). Die Werte der Ausgangsneuronen sind folgendermaßen zu verstehen:

Je größer der Wert eines Ausgangsneurons, desto wahrscheinlicher gehört die zum Eingangssignal gehörige Blume der entsprechenden Art des Ausgangsneurons an.

Im besten Falle ergeben sich Ausgangssignale, bei denen genau ein Ausgangsneuron einen Wert von ungefähr 1 hat und alle anderen Ausgangsneuronen einen Wert nahe 0. Aber Achtung:

Selbst bei einem recht eindeutigen Klassifikationsergebnis aufgrund des Ausgangssignals kann keineswegs davon ausgegangen werden, dass das Ergebnis tatsächlich korrekt ist.

Und natürlich muss das neuronale Netz zunächst trainiert werden, d.h., es müssen geeignete Gewichte und Schwellwerte gefunden werden, um überhaupt brauchbare Ergebnisse zu erzielen. Dies ist in der folgenden Anwendung bereits der Fall.

Anwendung

Hier kannst du die Eingangsneuronen verändern und die zugehörigen Ausgangsneuronen zur Klassifikation von Schwertlilien beobachten.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

var a = [ 0.7, 0.3, 0.4, 0.1 ];

var w = [[
  [ -1.4, -2.3,   4.9,   5.7 ],
  [ -2.3, -2.4,   7.9,   6.5 ],
  [  3.6,  2.6, -12.5, -10.6 ],
  [ -1.7,  4.5, -12.5,  -4.5 ],
  [ -1.1,  3.2,  -7.3,  -2.7 ]
],[
  [ -4.7, -4.8,  2.0,   5.0,  3.8 ],
  [ -3.9, -5.0, 10.5, -11.4, -5.0 ],
  [  5.2,  7.8, -9.0,  -5.0, -4.3 ]
]];

var b = [
  [ 2.0, 3.0, -5.1, -2.8, -1.2],
  [ 4.2, 1.0,  0.5 ]
];

function g(t) {
  return 1 / (1+Math.exp(-t));
};

function f(y, w, b) {
  var n = y.length;
  var m = b.length;
  var h = new Array(m);
  for (var i = 0; i < m; i = i+1) h[i] = 0;
  for (var i = 0; i < m; i = i+1) for (var j = 0; j < n; j = j+1) h[i] = h[i] + y[j]*w[i][j];
  for (var i = 0; i < m; i = i+1) h[i] = g(h[i]-b[i]);
  return h;
};

function h(x) {
  var t = x;
  for (var k = 0; k < w.length; k = k+1) t = f(t, w[k], b[k]);
  return t;
};

function color_gradient(q) {
  var c = [26,124,208];
  var d = [66,188,66];
  return [q*c[0]+(1-q)*d[0], q*c[1]+(1-q)*d[1], q*c[2]+(1-q)*d[2]];
};

function draw_neuron(x, y, a) {
  Canvas.circle(x, y, 0.6, {fill:color_gradient(a)});
  Canvas.circle(x, y, 0.4, {fill:"#ffffffcc"});
  Canvas.text(x, y, a.toFixed(2));
};

function draw() {
  Canvas.clear();
  draw_neuron(6, 6.0, a[0]);
  draw_neuron(6, 4.5, a[1]);
  draw_neuron(6, 3.0, a[2]);
  draw_neuron(6, 1.5, a[3]);
  Canvas.text(3.2, 6.0, "Kelchblattlaenge (in dm)");
  Canvas.text(3.2, 4.5, "Kelchblattbreite (in dm)");
  Canvas.text(3.2, 3.0, "Kronblattlaenge (in dm)");
  Canvas.text(3.2, 1.5, "Kronblattbreite (in dm)");
  Canvas.text(7.4, 6.0, "= "+(10*a[0]).toFixed(0)+" cm");
  Canvas.text(7.4, 4.5, "= "+(10*a[1]).toFixed(0)+" cm");
  Canvas.text(7.4, 3.0, "= "+(10*a[2]).toFixed(0)+" cm");
  Canvas.text(7.4, 1.5, "= "+(10*a[3]).toFixed(0)+" cm");
  var t = h(a);
  draw_neuron(10, 5.25, t[0]);
  draw_neuron(10, 3.75, t[1]);
  draw_neuron(10, 2.25, t[2]);
  Canvas.text(13.2, 5.25, "Borsten-Schwertlilie");
  Canvas.text(13.2, 3.75, "Verschiedenfarbige Schwertlilie");
  Canvas.text(13.2, 2.25, "Virginische Schwertlilie");
};

function setup() {
  Canvas.init([0,16], [0.3,7.2], {width:728, background:"lightgrey", scaling:"off"});
  Button.add("n1", "Neuron 1");
  Button.add("n2", "Neuron 2");
  Button.add("n3", "Neuron 3");
  Button.add("n4", "Neuron 4");
  draw();
};

function on_click(id) {
  for (var i = 0; i < 4; i++) {
    if (id == "n"+(i+1).toFixed(0)) {
      a[i] += 0.1;
      a[i] = (a[i] > 1.01 ? 0.0 : Math.min(a[i], 1.0));
      draw();
    };
  };
};

</script>
</body>
</html>

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Aufgabe

Nutze die Anwendung zuvor, um die Ausgangssignale der gegebenen Blüten zu bestimmen. Welcher Art gehören die Pflanzen aufgrund der Ergebnisse am wahrscheinlichsten an? Diskutiert, ob die Vorhersage aufgrund des neuronalen Netzes auch jeweils der Realität entspricht.

Implementierung

Der Quellcode beinhaltet die Gewichte und Schwellwerte aus der Anwendung zuvor.

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
  <meta charset="utf-8">
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
  <script src="taralino.js"></script>
</head>
<body>
<script>

// Werte der Eingangsneuronen:

var x = [ 0.7, 0.3, 0.4, 0.1 ];

// Definition der Gewichte:

var w = [[
  [ -1.4, -2.3,   4.9,   5.7 ],
  [ -2.3, -2.4,   7.9,   6.5 ],
  [  3.6,  2.6, -12.5, -10.6 ],
  [ -1.7,  4.5, -12.5,  -4.5 ],
  [ -1.1,  3.2,  -7.3,  -2.7 ]
],[
  [ -4.7, -4.8,  2.0,   5.0,  3.8 ],
  [ -3.9, -5.0, 10.5, -11.4, -5.0 ],
  [  5.2,  7.8, -9.0,  -5.0, -4.3 ]
]];

// Definition der Schwellwerte:

var b = [
  [ 2.0, 3.0, -5.1, -2.8, -1.2],
  [ 4.2, 1.0,  0.5 ]
];

// Neuronales Netz auswerten:

function g(t) {
  return 1 / (1+Math.exp(-t));
};

function s(y, w) {
  var h = 0;
  for (var j = 0; j < y.length; j = j+1) h = h + y[j]*w[j];
  return h;
};

function f(y, w, b) {
  var m = b.length;
  var h = new Array(m);
  for (var i = 0; i < m; i = i+1) h[i] = g(s(y, w[i])-b[i]);
  return h;
};

var t = x;
for (var k = 0; k < w.length; k = k+1) t = f(t, w[k], b[k]);

// Ergebnisausgabe:

Console.print("Eingangsneuronen:");
Console.print(x);
Console.print("Ausgangsneuronen:");
Console.print(t);

</script>
</body>
</html>

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